Таблица фактор текущей стоимости аннуитета

Таблица фактор текущей стоимости аннуитета

Около 20 лет назад я работал в издательстве. Собственник видел, что основная деятельность приносит всё меньше доходов, и я рассказал о возможности инвестировать средства сегодня, и получать выплаты в течение всей жизни. На похожем принципе основан нобелевский фонд. Согласно завещанию Альфреда Нобеля, на премии можно было направлять только проценты, полученные на стоимость активов фонда. Активы фонда с течением времени не уменьшаются, а расходуется только дополнительный капитал. В общем случае аннуитет — график платежей (в счет погашения кредита или получения вознаграждения на инвестиции) равными суммами через равные промежутки времени (рис. 1). Формулы для этих двух вариантов идентичны, и отличаются только знаком.

Рис. 1. Аннуитетные платежи: а) кредитование; б) инвестирование. По оси абсцисс – периоды времени, по оси ординат – суммы.

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel

Аннуитет – это не вечный финансовый двигатель, а механизм, основанный на том, что одна и та же сумма сегодня и в будущем имеет разную ценность. Аннуитет может быть конечным (количество выплат ограничено) или бесконечным. Последний также называют перпетуитет.

Сумма инвестиций (сегодня) для получения в будущем n выплат определяется формулой:

где, PV – текущая приведенная стоимость инвестиций (present value); Р – сумма разового аннуитетного платежа; n – количество периодов выплаты вознаграждения на инвестиции; r – ставка дисконтирования за период платежа; например, если выплаты раз в год, то ставка годовая; если выплаты раз в месяц, ставка месячная; Аn; r – коэффициент приведения аннуитета. Аn; r показывает, какую сумму достаточно инвестировать в начальный момент времени, чтобы потом регулярно в течении срока, состоящего из n периодов получать платежи единичного размера с учетом регулярного начисления на оставшиеся денежные средства сложных процентов по ставке r за каждый расчетный период (подробнее см. Аннуитетные финансовые функции).

В докомпьютерную эру коэффициент приведения аннуитета находили по специальным таблицам, имеющим дискретный шаг (рис. 2).

Рис. 2. Таблица для определения коэффициента приведения аннуитета; приводится по книге Михаил Лимитовский. Инвестиционные проекты и реальные опционы на развивающихся рынках; чтобы увеличить изображение кликните на нем правой кнопкой мыши и выберите Открыть картинку в новой вкладке

Гораздо проще расчет коэффициента может быть выполнен в Excel для любых n и r с помощью функции =ПС(ставка; кпер; плт; [бс]; [тип])

где ПС – приведенная (к текущему моменту) стоимость займа или инвестиции на основе постоянной процентной ставки;

ставка – процентная ставка за период; например, если получен кредит на автомобиль под 10% годовых и выплаты производятся ежемесячно, процентная ставка за месяц составит 10%/12 (0,83%);

кпер – число периодов платежей; например, если получен кредит на 4 года на покупку автомобиля и платежи производятся ежемесячно, то кредит имеет 4*12 (или 48) периодов.

плт – платеж, производимый в каждый период и не меняющийся на протяжении всех выплат; при расчете коэффициента приведения аннуитета плт = –1;

бс – значение будущей стоимости; при расчете коэффициента приведения аннуитета опускается;

тип – число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата; 0 или опущен – в конце периода, 1 – в начале периода; при расчете коэффициента приведения аннуитета опускается.

Рассчитаем, фрагмент приведенной выше таблицы в Excel (формулы см. в приложенном Excel-файле на листе «КПА»):

Рис. 3. Расчет коэффициента приведения аннуитета в Excel

Любопытно отразить на графике зависимость PV(n) для нескольких значений r, например, 1%, 2%, 5%. Видно, что с ростом n, PV стремится к некоторому пределу, который равен 1/r (рис. 4). Этот предел и есть стоимость бессрочного аннуитета (или бессрочной ренты, или перпетуитета). Перпетуитет вычисляется по формуле

Рис. 4. Предел, к которому стремится функция PV(n) равен 1/r: а) r = 1%, PV(n→∞)→100; б) r = 2%, PV(n→∞)→50; в) r = 5%, PV(n→∞)→20

Рассмотрим порядок расчета текущей или приведенной стоимости серии денежных потоков, с поясняющими примерами, в рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA.

Многие аспекты управления инвестициями часто связаны с активами, которые предполагают серию (т.е. последовательность) денежных потоков, возникающих с течением времени.

Денежные потоки могут быть очень неравномерными, относительно одинаковыми или равными.

Также денежные потоки могут возникать в течение относительно коротких периодов времени, более длительных периодов времени или даже растягиваться на неопределенный срок.

Далее мы обсудим, как найти текущую или приведенную стоимость (PV) серии денежных потоков.

Расчет текущей стоимости (PV) серии равных денежных потоков.

Начнем с обычного или простого аннуитета (англ. ‘ordinary annuity’). Напомним, что обычный аннуитет означает равные аннуитетные платежи, причем 1-й платеж начинается через 1 период (т.е. в конце текущего периода / начале следующего / при t = 1).

Всего простой аннуитет включает N платежей с первым взносом при t = 1 и последним при t = N.

Мы можем выразить текущую (приведенную) стоимость обычного аннуитета как совокупность текущей стоимости каждого отдельного аннуитетного платежа, как указано ниже:

  • A = сумма аннуитета,
  • r = процентная ставка за период, соответствующая частоте выплаты аннуитета (например, годовой, ежеквартальный или ежемесячный),
  • N = количество аннуитетных платежей.

Поскольку аннуитетный платеж (A) является константой в этом уравнении, его можно вывести за скобки. Таким образом, это выражение можно привести к следующей формуле:

Точно так же, как и при вычислении будущей стоимости (FV) обычного аннуитета, мы находим текущую стоимость (PV), умножая сумму аннуитета на фактор текущей стоимости аннуитета (англ. ‘present value annuity factor’) — он заключен в квадратные скобки в формуле 11.

Пример расчета текущей (приведенной) стоимости обычного аннуитета.

Предположим, вы рассматриваете возможность покупки финансового актива, который обещает выплату в €1 000 каждый год в течение 5 лет с первым платежом через год.

Норма прибыли составляет 12% в год.

Сколько вы должны заплатить за этот актив?

Решение:

Чтобы узнать стоимость финансового актива, используйте формулу (11) текущей стоимости обычного аннуитета, со следующими данными:

A = €1,000
r = 12% = 0.12
N = 5

= €1,000 * (3.604776)
= €3,604.78

Серия денежных потоков в размере €1,000 в год в течение 5 лет на текущую дату составляет €3,604.78 при дисконтировании по ставке 12%.

Необходимость отслеживания фактических календарных сроков приводит нас к специфическому типу аннуитета: авансовому аннуитету или аннуитету пренумерандо (англ. ‘annuity due’).

При авансовом аннуитете 1-ый платеж выполняется в текущую дату (t = 0). В общей сложности авансовый аннуитет включает N платежей.

На рисунке ниже представлена временная шкала авансового аннуитета из 4-х платежей в размере $100.

На рисунке мы можем видеть авансовый аннуитет с 4-мя периодами, состоящий из двух частей:

  • единовременная сумма в размере $100 на текущую дату (при t = 0) и
  • обычный аннуитет в размере $100 за период в течение 3-х периодов.
Читайте также:  Втб 24 воронеж остужева 6 телефон

При ставке дисконтирования в 12% четыре денежных потока в размере 100$ в этом примере авансового аннуитета будут стоить $340,18.

Существует альтернативный способ расчета текущей стоимости авансового аннуитета.

По сравнению с обычным аннуитетом каждый платеж авансового аннуитета дисконтируется на 1 период раньше.

Поэтому мы можем модифицировать формулу 11, умножив правую часть уравнения на (1 + r):

PV (Авансовый аннуитет) = ( mathbf over r
ight] (1+r) > )

Выражение стоимости будущих денежных потоков в сегодняшнем эквиваленте дает нам удобный способ сравнения аннуитетов. Следующий пример иллюстрирует этот подход.

Пример расчета авансового аннуитета как суммы текущей стоимости единичного денежного потока и обычного аннуитета.

Вы выходите на пенсию сегодня и должны либо получить свое пенсионное пособие в виде паушальной суммы (т.е. единовременной выплаты всех пенсионных накоплений), либо в виде аннуитета.

Сотрудник вашей компании, занимающийся выплатой пособий, предлагает вам две альтернативы:

  • немедленную единовременную выплату в размере $2 млн. или
  • аннуитет с 20 платежами в размере $200 000 в год с первым платежом от текущей даты.

Процентная ставка в вашем банке составляет 7% годовых с ежегодным начислением процентов.

Какой вариант обеспечивает большую текущую стоимость? (Игнорируйте любые налоговые различия между двумя вариантами.)

Решение:

Чтобы сравнить эти два варианта, необходимо найти текущую стоимость каждого из них в момент времени
t = 0 и выбрать наибольшее значение.

Текущая стоимость первого варианта составляет $2 млн., т.е. первый вариант уже выражен в сегодняшнем эквиваленте.

Второй вариант — аннуитет. Поскольку первый платеж происходит при t = 0, вы можете разделить этот аннуитет на две части:

  • немедленную выплату $200 000 от текущей даты (t = 0) и
  • обычный аннуитет в размере $200 000 в год в течение 19 лет.

Чтобы рассчитать этот аннуитет, вам нужно найти текущую стоимость обычного аннуитета, используя формулу 11, а затем добавить к нему 200 000 долларов.

A = $200,000
N = 19
r = 7% = 0.07

( mathbf < eginPV &= A left[ 1- <1over(1+r)^N>over r
ight] \ &= $200 000 left[ 1-<1over(1.07)^<19>> over 0.07
ight] end
> )
= $200,000(0.335595)
= $2,067,119.05

19 платежей в размере $200 000 имеют текущую (приведенную) стоимость в размере $2,067,119.05. Добавив к этой сумме первоначальный платеж в размере $200,000, мы обнаружим, что общая стоимость аннуитета составляет $2,267,119.05.

Текущая стоимость аннуитета больше, чем единовременная альтернатива в размере $2 млн.

Теперь рассмотрим другой пример, подтверждающий эквивалентность текущей и будущей стоимости.

Пример расчета прогнозируемой текущей стоимости обычного аннуитета.

Менеджер немецкого пенсионного фонда ожидает, что пенсионерам будут выплачиваться пособия в размере €1 млн. в год. Пенсионные выплаты начнут осуществляться через 10 лет от текущей даты, при t = 10.

После того, как пособия начнут выплачиваться, эти выплаты продлятся до t = 39, что составляет в общей сложности 30 платежей.

Какова текущая (приведенная) стоимость пенсионного обязательства, если соответствующая годовая ставка дисконтирования для обязательств по пенсионному плану составляет 5% годовых, начисляемых ежегодно?

Решение:

Эта задача связана с аннуитетом, первый платеж по которому наступает через 10 лет, при t = 10.

При этом, на момент t = 9 мы имеем обычный аннуитет с 30 платежами. Мы можем вычислить текущую стоимость (PV) этого аннуитета с помощью формулы 11, а затем посмотреть на нее на временной шкале.

A = €1,000,000
r = 5% = 0.05
N = 30

( mathbf < eginPV &= A left[ 1- <1over(1+r)^N>over r
ight] \ &= €1 000 000 left[ 1-<1over(1.05)^<30>> over 0.05
ight] end
> )
= €1,000,000 * (15.372451)
= €15,372,451.03

На временной шкале мы отразили пенсионные выплаты в размере €1 млн., занимающие отрезок от t = 10 до t = 39.

Фигурная скобка и стрелка обозначают процесс нахождения текущей стоимости аннуитета, дисконтированной к моменту времени t = 9.

Текущая стоимость (PV) пенсионных пособий по состоянию на t = 9 составляет €15,372,451.03.

Далее задача заключается в том, чтобы найти текущую стоимость на текущую дату (при t = 0). Теперь мы можем полагаться на эквивалентность текущей стоимости и будущей стоимости (см. CFA — Эквивалентность приведенной и будущей стоимости денежных потоков).

Как показано на временной лини, мы можем рассматривать сумму при t = 9 в качестве будущей стоимости с точки зрения t = 0.

Мы вычислим текущую стоимость (PV) при t = 0 следующим образом:

FVN = €15,372,451.03 (текущая стоимость при t = 9)
N = 9
r = 5% = 0.05

PV = FVN * (1 + r) — N
= €15,372,451.03 * (1.05) -9
= €15,372,451.03 * (0.644609)
= €9,909,219.00

Приведенная стоимость на текущую дату (при t = 0) пенсионного обязательства составляет €9,909,219.00.

Приведенный пример иллюстрирует три процедуры:

  • определение текущей (PV) или будущей стоимости (FV) любой последовательности денежных потоков;
  • признание эквивалентности текущей и будущей стоимости; а также
  • отслеживание фактического календарного времени на временной шкале при вычислениях, связанных с временной стоимостью денег (TVM).

Как вычислять текущую стоимость (PV) бесконечной серии равных денежных потоков — бессрочный аннуитет?

Рассмотрим случай обычного аннуитета, который продолжается бесконечно. Такой обычный аннуитет называется бессрочным аннуитетом или перпетуитетом или вечной рентой (англ. ‘perpetuity’ или ‘perpetual annuity’).

Чтобы получить формулу для текущей стоимости перпетуитета, мы можем модифицировать формулу 10, чтобы учесть бесконечную последовательность денежных потоков:

( mathbf ^ <infty>left[ 1 over (1 + r)^t
ight] > ) (формула 12)

Пока процентные ставки положительны, сумма факторов текущей стоимости позволяет получить формулу в следующем виде:

PV = A / r (формула 13)

Чтобы понять смысл этого преобразования, обратите внимание на формулу (11) текущей стоимости обычного аннуитета.

Поскольку N (количество периодов в аннуитете) переходит на бесконечность, выражение 1 / (1 + r) N приближается к 0, а формула 11 упрощается до формулы 13.

Эта формула потребуется, когда мы будем оценивать дивиденды от акций, поскольку акции не имеют предопределенного срока действия.

Акция, выплачивающая постоянные дивиденды, аналогична бессрочному аннуитету.

При первом платеже через год от текущей даты, перпетуитет в размере $10 в год при 20%-ой норме прибыли имеет текущую стоимость в размере $10 / 0,2 = $50 долларов.

Формула 13 справедлива только для бессрочного аннуитета с равными платежами. В примере выше первый платеж произошел при t = 1; поэтому мы вычисляем текущую стоимость при t = 0.

Некоторые финансовые активы также соответствуют концепции бессрочного аннуитета. Определенные государственные облигации и привилегированные акции являются типичными примерами финансовых активов, которые обеспечивают равные выплаты в течение неопределенного срока.

Пример расчета текущей стоимости (PV) перпетуитета.

Британское правительство когда-то выпускало форму ценных бумаг, называемых «консолями» (англ. ‘consol bond’). Это — бессрочные облигации (англ. ‘perpetual bond’), которые обеспечивают равные денежные выплаты в течение неограниченного срока.

Если бессрочная облигация приносит £100 в год в течение неограниченного срока, сколько бы она стоила сегодня, если норма прибыли составляет 5%?

Решение:

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать формулу 13 со следующими данными:

A = £100
r = 5% = 0.05

Читайте также:  Взять ипотеку в калуге

PV = A/r
= £100/0.05
= £2,000

Облигация будет стоить £2 000.

Текущая стоимость на момент времени, отличный от текущей даты (t = 0).

На практике финансовым аналитикам часто приходится находить текущие значения стоимости, на различные моменты времени, отличные от t = 0.

Если мы рассчитаем перпетуитет, начинающийся с платежа в размере $100 на 2-й год, то мы получим PV1 = $ 100 / 0,05 = $2 000 при 5%-й ставке. Кроме того, мы можем рассчитать PV на текущую дату как PV = $2,000 / 1.05 = $ 1,904.76.

Рассмотрим аналогичную ситуацию, в которой денежные потоки в размере $6 в год начинаются в конце 4-го года и продолжаются в конце каждого года после этого с последним потоком денежных средств в конце 10-го года.

По состоянию на конец 3-го года мы сталкиваемся с типичным 7-летним обычным аннуитетом. Мы можем найти текущую стоимость аннуитета на конец 3-го года, а затем привести эту стоимость к текущей дате.

При процентной ставке 5% денежные потоки в размере $6 в год, начинающиеся в конце 4-го года, будут стоить $34,72 на конец 3-го года (t = 3) и $29,99 на текущую дату (t = 0).

Следующий пример иллюстрирует важную концепцию, согласно которой начинающийся в будущем аннуитет или перпетуитет может быть выражен в текущей стоимости за один период до первого платежа. Эта стоимость может быть приведена к текущей стоимости на сегодняшнюю дату.

Пример расчета текущей стоимости (PV) бессрочного аннуитета (перпетуитета) с отсроченной первой выплатой.

Рассмотрим перпетуитет с равными платежами в £100 в год, с первой выплатой, начинающейся при t = 5.

Какова будет его текущая стоимость на сегодняшнюю дату (при t = 0), при 5-процентной ставке дисконтирования?

Решение:

Во-первых, мы находим текущую стоимость перпетуитета при t = 4, а затем дисконтируем эту сумму к текущей дате t = 0. (Напомним, что у перпетуитета и обычного аннуитета первый платеж осуществляется на конец первого периода, что объясняет индекс t = 4 для нашего расчета текущей стоимости).

1. Находим текущую стоимость перпетуитета при t = 4:

A = £100
r = 5% = 0.05

PV = A/r
= £100/0.05
= £2,000

2. Находим текущую стоимость будущего значения при
t = 4.

С точки зрения сегодняшней даты t = 0 текущую стоимость в £2,000 можно считать будущей стоимостью.

Теперь нам нужно найти текущую стоимость £2,000 при
t = 0:

FVN = £2,000 (текущая стоимость при t = 4)
r = 5% = 0.05
N = 4

PV = FVN * (1 + r) — N
= £2,000 * (1.05) -4
= £2,000 * (0.822702)
= £1,645.40

Приведенная стоимость перпетуитета на текущую дату составляет £1,645.40.

Как обсуждалось ранее, аннуитет представляет собой серию платежей с фиксированной (одинаковой) суммой в течение определенного количества периодов.

В ситуации с перпетуитетом число периодов бесконечно. В этом случае мы предоставляем бессрочное обязательство производить платежи, и эти платежи имеют одинаковую сумму. Тем не менее, первая (1) часть перпетуитета отсрочена и выплачивается при t = 5; после этого платежи продолжаются бесконечно.

Выплаты по второй (2) части перпетуитета компенсируют смещение 1-го платежа первой (1) части перпетуитета к t = 5.

Благодаря этому перпетуитет с отсроченной 1-й выплатой (до t = 5) обеспечивает выплаты при t = 1, 2, 3 и 4. Выплаты за эти 4 периода точно соответствуют определению обычного аннуитета с четырьмя платежами.

Таким образом, мы можем представить обычный аннуитет как разницу между двумя перпетуитетами с равными платежами, но с разными датами начала выплат.

Следующий пример иллюстрирует этот результат.

Пример расчета текущей стоимости обычного аннуитета как разницы между текущей стоимостью (PV) и прогнозируемым (отсроченным) перпетуитетом.

С учетом 5%-ой ставки дисконтирования, найдите текущую (приведенную) стоимость 4-летнего обычного аннуитета в размере £100 в год, с выплатами начиная с 1-го года, в качестве разницы между следующими двумя перпетуитетами:

  • Перпетуитет 1 на £100 в год, начиная с 1-го года (первый платеж при t = 1).
  • Перпетуитет 2 на £100 в год, начиная с 5-го года (первый платеж при t = 5).

Решение:

Если мы вычтем Перпетуитет 2 из Перпетуитета 1, мы получим обычный аннуитет в размере £100 за 4 года (платежи при t = 1, 2, 3, 4).

Вычитая текущую стоимость Перпетуитета 2 из Перпетуитета 1, мы придем к текущей (приведенной) стоимости четырехлетнего обычного аннуитета:

PV (Перпетуитет 1) = £100 / 0.05 = £2,000
PV4 (Перпетуитет 2) = £100 / 0.05 = £2,000
PV (Перпетуитет 2) = £2,000 / (1.05) 4 = £1,645.40

PV (Аннуитет)
= PV (Перпетуитет 1) — PV (Перпетуитет 2)
= £2,000 — £1,645.40
= £354.60

Текущая стоимость 4-летнего обычного аннуитета равна £2,000 — £1,645.40 = £354.60.

Как вычислять текущую стоимость (PV) для серии неравных денежных потоков?

Когда мы имеем неравные денежные потоки, мы должны сначала найти текущую стоимость (PV) каждого отдельного денежного потока, а затем суммировать соответствующие значения PV.

Для серии (последовательности) с большим количеством денежных потоков мы обычно используем электронную таблицу.

В таблице ниже приведена последовательность денежных потоков с

  • временными периодами в 1-м столбце,
  • денежными потоками во 2-м столбце и
  • текущей стоимостью (PV) каждого денежного потока в 3-м столбце.

В итоговой строке таблице показана сумма приведенных значений для всей серии денежных потоков.

Стандартные функции сложного процента

Применение стандартных функций сложного процента даёт возможность рассчитать величину любого из элементов, характеризующих распределенные во времени денежные потоки — стоимость, платеж, время, ставку, — при условии, что другие элементы известны.

Как правило, речь идет о 6 функциях сложного процента:

  • накопленная сумма единицы(её будущая стоимость),
  • накопление единицы за период,
  • взнос в формирование фонда возмещения,
  • реверсия (текущая стоимость единицы),
  • текущая стоимость обычного аннуитета,
  • взнос на амортизацию единицы

Поскольку эти функции применяют весьма широко и часто, разработаны стандартные таблицы, которые включают заранее рассчитанные факторы сложного процента. В данном контексте фактором называется одно из двух или более чисел, которые, будучи перемноженными, дают заданный результат. Все эти факторы созданы с применением базовой формулы (1 + i)n, дающей описание накопленной суммы единицы, и по сути, представляют собой производные от этого фактора.

Будущая стоимость единицы.

Будущая стоимость единицы – функция, которая определяет ее накопленную сумму спустя n периодов, если ставка дохода на капитал равна i. Функция подразумевает, что доход на капитал, полученный за период, вместе с первоначальным капиталом формирует базу, с которой будет определяться доход на капитал в следующий период.

Её рассчитывают по формуле:

где FV — будущая стоимость;
PV — текущая стоимость;
i — ставка дохода;
n — срок накопления (число периодов);
FVF(i;n) = (1 + i)n — фактор будущей стоимости единицы (накопленной суммы).

С помощью этой функции можно вычислить будущее значение денежной суммы, опираясь на ее текущее значение, размер ставки дохода на капитал и длительность срок накопления.

В текущий момент стоимость земельного участка составляет 1000 долл., при уровне доходности 14%. Предполагается, что он будет продан через два года. При этом ни его характеристики, ни рыночные условия не изменятся. В данном случае будущая стоимость земельного участка станет равной 1300 долл.:

Читайте также:  Россельхозбанк миасс адрес и телефон

или, что одно и то же

Накопление единицы за период.

Накопление за период – функция, которая определяет будущую стоимость обычного аннуитета (то есть серии равновеликих периодических платежей и поступлений PMT) на протяжении n периодов при размере ставки дохода на капитал i.
Обычный аннуитет – это серия равновеликих периодических платежей и поступлений, причём первый из них производится в конце следующего, после текущего, периода. Если платежи производятся авансом, (в начале каждого периода), речь идёт об авансовом аннуитете.

Будущую стоимость обычного аннуитета рассчитывают по формуле:

где FVA — будущая стоимость обычного аннуитета
PMT – величина одного из серии равновеликих периодических платежей или поступлений
i — ставка дохода;
n — число периодов;

— фактор будущей стоимости обычного аннуитета.

Нужно рассчитать будущую стоимость земельного участка, приобретенного при условии отсрочки платежа на полгода и компенсации 12% годовых. Платежи вносятся в конце каждого месяца — равными суммами по 1000 долл. В таком случае будущая стоимость земельного участка окажется равной 6152 долл.:

или, что то же самое

Взнос на формирование фонда возмещения.

Взносы на формирование фонда возмещения — функция, которой определяется величина платежей для обычного аннуитета, чья будущая стоимость через n периодов, при величине ставки i, равна 1.

Иначе говоря, с помощью функции взноса на формирование фонда возмещения можно определить размер равновеликого периодического платежа (регулярного дохода), нужного для накопления до конца установленного периода определенной суммы, с учетом накопленных процентов, при некоторой ставке дохода.

Расчет величины равновеликого периодического платежа осуществляется по формуле:

где PMT – величина равновеликого периодического платежа;
FV — будущая стоимость обычного аннуитета
i — ставка дохода;
n — число периодов;

— фактор фонда возмещения
SFF (i;n) (фактор фонда возмещения) является обратной величиной фактора будущей стоимости обычного аннуитета:

Нужно рассчитать величину ежегодных накоплений с целью равноценной замены существующего здания, которое приносит доход в 14%, с условием, что к окончанию периода экономической жизни (8 лет) затраты на замену здания составят 10000 долл. В данном случае величина ежегодных отчислений составит 755,70 долл.:

Текущая стоимость единицы (реверсии).

Текущая стоимость единицы (реверсии) – функция, которая определяет текущую стоимость будущей единицы, которую можно получить по истечении n периодов при заданной ставке дохода i. Данная функция позволяет осуществить оценку текущей стоимости дохода, который может быть получен от реализации объекта в конце периода при данной ставке дисконта.

Текущую стоимость единицы рассчитывают по формуле:

где PV — текущая стоимость;
FV — будущая стоимость;
i — ставка дохода (дисконта);
n — срок накопления (число периодов);

— фактор текущей стоимости единицы (реверсии).

В математическом смысле текущая стоимость единицы – это обратная величина функции ее будущей стоимости.

Требуется вычислить текущую стоимость земельного участка, который в конце года будет продан по цене 1000 долл. При ставке дисконта 10% в год текущая стоимость участка будет равной 909,09 долл.

Текущая стоимость обычного аннуитета.

Текущая стоимость обычного аннуитета – функция, которая определяет текущую стоимость серии будущих равновеликих периодических платежей (поступлений) PMT на протяжении n периодов при ставке дисконта i. Вычисление осуществляют по формуле:

где PVA — текущая стоимость обычного аннуитета
PMT — величина одного из серии равновеликих периодических платежей (поступлений)
i — ставка дохода (дисконта);
n — число периодов

— фактор текущей стоимости обычного аннуитета.

Текущая стоимость обычного аннуитета может быть определена как сумма текущих стоимостей всех платежей:

Нужно определить текущую стоимость платежей по аренде, при условии, что земельный участок был сдан на три года, за ежегодную арендную плату 100 долл. Ставка дисконта равна 12%. Тогда текущая стоимость платежей составит 240,18 долл.:

Взнос на амортизацию единицы.

Взнос на амортизацию единицы – функция, при помощи которой определяют величину регулярного платежа (поступления), обеспечивающего доход на капитал и его возврат при ставке дисконта i за n периодов. Взнос на амортизацию единицы можно рассчитать по формуле:

где PMT — величина платежа для обычного аннуитета;
PV — текущая стоимость единицы,
i — ставка дисконта (дохода);
n — срок накопления (число периодов);

— фактор взноса на амортизацию единицы.

Эта функция, равно как и функция взноса на формирование фонда возмещения, даёт возможность определения платежа РМТ. Но в отличие от функции взноса на формирование фонда возмещения, связанной с платежом с целью накопления заданной суммы FV, функция взноса на амортизацию единицы имеет отношение к платежу, позволяющему вернуть заданную на текущий момент сумму PV. При этом платеж включает две составляющие: первая обеспечивает доход по заданной ставке i, вторая обеспечивает возврат капитала по норме возврата SFF(i; n) за n периодов.

Функция взноса на амортизацию единицы используется при определении регулярных равновеликих (аннуитетных) платежей в счет погашения кредита, если он выдан на некоторый период по заданной ставке по кредиту. При этом каждый платеж включает в себя и выплаты основной суммы долга, и начисленных процентов. Сами платежи при этом равновеликие, и от платежа к платежу соотношение доходной и возвратной составляющих меняется (уменьшается часть, с которой идёт выплата процентов, и увеличивается та часть, которая идёт на возврат принципала, то есть основной суммы кредита. То есть процент начисляется на невыплаченную сумму принципала и процентная ставка по кредиту, по мере его погашения, начисляется на меньшую сумму. Функция взноса на амортизацию единицы при этом обратна функции текущей стоимости обычного аннуитета.

Нужно рассчитать величину ежегодного дохода, который приходится на здание, которое будет эксплуатироваться в течение 5 лет, если его текущая стоимость равна 10000 долл., а ставка дисконта — 15%. При таких условиях размер ежегодного дохода составляет 2983,16 долл.:

или, что одно и то же

Используя взаимосвязь факторов шести функций сложного процента, можно предложить представить логику их построения и экономический смысл в табличной форме.

Взаимосвязь и экономический смысл стандартных функций сложного процента

Резюме

В оценке недвижимости важную роль играет теория стоимости денег во времени. С ее помощью объясняется такой значимый для оценки процесс, как дисконтирование, отражающий взаимосвязь между понятиями текущая стоимость, будущая стоимость, регулярный доход, время, ставка дохода.

Данная взаимосвязь реализуется на основе использования 6 функций сложного процента, позволяющих определить искомую величину на основе умножения известной величины на соответствующий фактор, значение которого может быть вычислено или взято из таблиц 6 функций сложного процента. Это существенно облегчает выполняемые при оценке многочисленные расчеты.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector